4.6 الأنظمة من الرتبة الثانية ناقصة التخميد (Underdamped Second-Order Systems) 

عندما يكون $ 0 < \zeta < 1 $، تولّد الأقطاب $ s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm j \omega_d $ حيث $ \omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} $ تذبذبًا متناقصًا. هذه الأنظمة تهيمن على تطبيقات المؤازرة لأنها توازن بين السرعة والنعومة.

الاستجابة للخطوة الواحدة هي $$ y(t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta \omega_n t} \sin!\left(\omega_d t + \phi\right), \qquad \phi = \arccos(\zeta). $$ بدلاً من حفظ التعبير الكامل، ركّز على المقاييس التي يضبطها المصممون فعليًا:

• زمن الذروة (Peak Time) $ T_p = \frac{\pi}{\omega_d} $.
• نسبة التجاوز (Percent Overshoot) $ M_p = e^{-\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta^2}} \times 100% $.
• زمن الاستقرار (Settling Time) لمعيار $ 2% $: $ T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} $.
• زمن النهوض (Rise Time) $ T_r \approx \frac{\pi - \phi}{\omega_d} $.

تمرّن على المثال التالي: اختر $ \omega_n = 8 $ راديان/ثانية و $ \zeta = 0.45 $. احسب $ T_p $، $ M_p $، $ T_s $، و $ T_r $. بعدها اسأل نفسك أي ذراع تصميم (زيادة التخميد أو التردد الطبيعي) سيقلّص كل مقياس. هذا هو مسار التفكير ذاته الذي ستستخدمه عند ضبط مكاسب التغذية الراجعة.

إذا خالفت نتائج المحاكاة هذه الصيغ، فراجع نسبة التخميد المفترضة. كثير من أخطاء النمذجة تختبئ في القيم المستخدمة لحساب $ \zeta $ و $ \omega_n $؛ اكتشاف هذه الفروقات مبكرًا يوفر ساعات أثناء تكرار تصميم المتحكم.