4.5 النظام العام من الرتبة الثانية 

للتنبؤ بالسلوك بدقة، ابدأ من الدالة الانتقالية القياسية $$ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}. $$ أي بسط مختلف يكتفي بتغيير الكسب أو إضافة أصفار، لذا هذا المقام الأساسي يلتقط لبّ كل زوج من الرتبة الثانية بغض النظر عن التطبيق الفيزيائي.

احسب الأقطاب: $$ s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}. $$ اسأل نفسك في أي نظام تعمل:

• $ \zeta > 1 $: قطبان حقيقيان وسالبان → استجابة بطيئة لكن بلا تجاوز.
• $ \zeta = 1 $: قطب مزدوج → أسرع استجابة من دون تذبذب.
• $ 0 < \zeta < 1 $: قطبان مترافقان مركبان → تذبذب متناقص.

نفّذ حسابًا سريعًا لترسّخ الأرقام. اختر $ \omega_n = 5 , \text{rad/s} $. احسب الأقطاب لـ $ \zeta = 0.2 $، $ \zeta = 0.7 $، و $ \zeta = 1.5 $. ضعها على المستوى العقدي. ما مدى بعدها عن المحور التخيلي؟ ما سرعة تلاشي الأنماط؟ هذا التمرين يربط الجذور الجبرية بالهندسة التي ستتلاعب بها عند وضع الأقطاب عبر التغذية الراجعة.

كلما واجهت نموذجًا أعلى رتبة، ابحث عن الزوج المسيطر من الأقطاب وملاءمته مع هذا القالب لتقدير $ \zeta $ و $ \omega_n $. بهذه الطريقة تنقل أهداف الأداء وتعديلات المتحكم بلغة مشتركة يفهمها كل مهندس تحكم.