4.3 الأنظمة من الرتبة الأولى 

ديناميكيات الرتبة الأولى هي خط الأساس لمهندس التحكم. كلما صادفت عنصرًا واحدًا بارزًا يخزّن الطاقة—كتلة حرارية أو سعة سائلة—يمكنك تقريب السلوك بـ $$ G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}. $$ الثابت $ \tau $ هو ثابت الزمن (Time Constant)، أي الزمن اللازم لكي تصل الاستجابة الخطوية إلى $ 63.2% $ من قيمتها النهائية. فهم هذا المعامل الواحد يسمح لك بضبط مواصفات الأداء وتقييمها خلال ثوانٍ.

اعمل على حل الاستجابة للخطوة الواحدة: $$ y(t) = K \left(1 - e^{-t/\tau}\right) u(t). $$ توقف واسأل نفسك: بعد كم مضاعفة من $ \tau $ يقترب الخرج إلى حدود $ 2% $ من القيمة النهائية؟ (الإجابة: نحو $ 4\tau $). الاحتفاظ بهذا المقياس الذهني يساعدك على اختيار المستشعرات، المشغّلات، ونوافذ أخذ العينات.

جرّب هذا التدريب التفاعلي. اختر نظامًا تعرفه—كمستشعر مستوى هيدروليكي—وقدّر ثابت الزمن من الخبرة. بعدها ضع قيمة واقعية لـ $ \tau $ في المعادلة أعلاه وارسم الخرج المتوقع. هل يتوافق المنحنى مع ما تتذكره من الاختبارات المخبرية؟ هذه الحلقة الراجعة تعلمك التبديل بين الرياضيات والحدس.

حين تنمذج منظومة أكثر تعقيدًا لاحقًا، ابحث عن القطب المسيطر: إذا كان أحد الأقطاب أقرب بكثير إلى المحور التخيلي من باقي الأقطاب، فالسلوك العام للنظام يشبه قالب الرتبة الأولى هذا. تلك البصيرة تدعم تقريب الأنظمة في الأقسام 4.7 و4.8.