4.2 الأقطاب والأصفار والاستجابة النظامية 

عندما تنظر إلى دالة انتقالية، قد ترى فقط معادلة جبرية. بدلاً من ذلك، اقرأ كل قطب (Pole) وصفر (Zero) كنغمة تحدد إيقاع الاستجابة الزمنية. جذور المقام تحدد الأنماط الطبيعية، بينما جذور البسط تضخّم أو تُلغي سلوكيات معينة. إدراك هذا الربط هو أسرع طريقة للتنبؤ بكيفية حركة النظام من دون حل كل معادلة تفاضلية من البداية.

لنأخذ الدالة العامة $$ G(s) = K \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots}. $$ كل قطب $ p_i $ يولّد حدًا من الشكل $ A_i e^{p_i t} $ في الاستجابة المتجانسة. القطب في نصف المستوى الأيسر ينتج حركة متلاشية؛ القطب على المحور التخيلي يحافظ على التذبذب؛ القطب في نصف المستوى الأيمن ينمو بلا حدود. الأصفار تشكّل مدى بروز كل نمط في الخرج عبر تعديل البواقي $ A_i $.

احمل ورقة جانبية وجرب هذا: خذ دالتين انتقاليتين تشتركان في الأقطاب لكن تختلفان بصفر واحد. ارسم الاستجابة الخطوية المتوقعة لكل منهما. أي موجة تظهر تجاوزًا أكبر؟ وأيها يبدأ أسرع؟ هذا التنبؤ السريع يبقيك متمكنًا من علاقة السبب والنتيجة بين الأقطاب والأصفار والاستجابة.

سير العمل العملي:

• حدد الأقطاب للحكم على الاستقرار والثوابت الزمنية المسيطرة.
• تفحّص موضع الأصفار لتتوقع التجاوز أو بداية التراجع.
• أكد حدسك بالمحاكاة أو حساب المقاييس الزمنية الرئيسة، لتثبت أن قصة الأقطاب والأصفار صحيحة.

إذا فاجأك مخطط أو حساب ما، فاقتفِ أثر المفاجأة إلى قطب أو صفر محدد. هذا العمل الاستقصائي يرسّخ الحدس الذي ستحتاجه مع الأنظمة الأعلى رتبة في الأقسام اللاحقة.