4.11 حل معادلات الحالة في المجال الزمني (Time Domain Solution of State Equations) 

حل معادلات الحالة في المجال الزمني يبرز الحدس الفيزيائي: تتكشف المسارات عبر مصفوفة انتقال الحالة $ e^{At} $. $$ \mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}(\tau) , d\tau. $$ يتبع الخرج: $$ \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t). $$

لبناء الثقة، احسب $ e^{At} $ للمصفوفة نفسها من القسم 4.10. إذا كانت القيم الذاتية مميزة، قطّع $ A = V \Lambda V^{-1} $ واستخدم $ e^{At} = V e^{\Lambda t} V^{-1} $. إذا كان التشاكل (Diagonalization) معقدًا، استعن بتوسعة متسلسلة القوى أو اعتمد على تحويل لابلاس للتحقق من عملك.

نقطة تحقق تفاعلية: طبّق مدخلاً خطويًا واحدًا واحسب التكامل. قارن $ \mathbf{x}(t) $ الناتجة مع حل تحويل لابلاس العكسي. هل كلا الطريقتين تنتجان الاستجابة الخطوية نفسها؟ إن لم يكن، حدِّد الخطأ الجبري—هذا التحقق المتبادل ضروري عند محاكاة أنظمة تمزج الحلول التحليلية والعددية.

تصبح الصيغ الزمنية مفيدة بشكل خاص للمدخلات المتغيرة زمنياً أو عندما تحتاج إلى حساب مسارات محددة (مثل تتبع الإزاحة الخطية Ramp Tracking). احتفظ بمكتبة صغيرة من حلول $ e^{At} $ للأشكال القياسية الشائعة؛ إعادة استخدامها تسرّع نمذجة المتحكم وتحققه.