4.10 حل معادلات الحالة بتحويل لابلاس (Laplace Transform Solution of State Equations) 

تصف نماذج فضاء الحالة الديناميكيات بواسطة $$ \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t), \qquad \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t). $$ يحوّل تطبيق تحويل لابلاس (Laplace Transform) هذا النظام التفاضلي إلى معادلات جبرية: $$ s \mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s). $$ حل لـ $ \mathbf{X}(s) $ لتحصل على $$ \mathbf{X}(s) = (sI - A)^{-1} \mathbf{x}(0) + (sI - A)^{-1} B \mathbf{U}(s), $$ وأخيرًا $$ \mathbf{Y}(s) = C (sI - A)^{-1} \mathbf{x}(0) + \left[ C (sI - A)^{-1} B + D \right] \mathbf{U}(s). $$

تحدَّ نفسك بنظام صغير: $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -4 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}. $$ احسب $ (sI - A)^{-1} $ يدويًا واستخرج الدالة الانتقالية. هل تطابق الأقطاب الجبرية القيم الذاتية (Eigenvalues) للمصفوفة $ A $؟ يجب أن تفعل ذلك—فحل تحويل لابلاس يعمم نهج الدالة الانتقالية للأنظمة متعددة المداخل والمخارج.

استخدم هذه الطريقة كلما كانت الشروط الابتدائية مهمة. الحد $ (sI - A)^{-1} \mathbf{x}(0) $ يسمح لك بإضافة الاستجابة المتجانسة مباشرةً، من دون الحاجة إلى تكامل منفصل في الزمن.