3.7 الخطيّة التقريبية 

    نادراً ما تتصرّف الأنظمة الحقيقية بخطّيّة تامة، ومع ذلك تفترض معظم أدوات التصميم الخطّيّة. التقريب الخطي (Linearization) يجسر هذه الفجوة من خلال تقريب الديناميكيات غير الخطية حول نقطة تشغيل. تحتاج هذه المهارة كلما صمّمت متحكّمًا لروبوت أو طائرة أو مفاعل كيميائي يعمل حول حالة مستقرة.

    انظر إلى نموذج غير خطي $$ \dot{x} = f(x, u), \qquad y = g(x, u). $$ لإجراء خطيّة حول $ (x^\star, u^\star) $، اتبع الوصفة:

    1. ابحث عن نقطة التشغيل. حل $ f(x^\star, u^\star) = 0 $ للتوازن أو اختر نقطة من المسار تهمّك. لماذا؟ لأن دقّة الخطيّة تعتمد على البقاء قريبًا من هذه النقطة.
    2. احسب المشتقّات الجزئية (Jacobians). $$ A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|{(x^\star, u^\star)}, \quad B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|{(x^\star, u^\star)}, \quad C = \left. \frac{\partial g}{\partial x} \right|{(x^\star, u^\star)}, \quad D = \left. \frac{\partial g}{\partial u} \right|{(x^\star, u^\star)}. $$ هذه المصفوفات تلتقط كيف تنتشر الانحرافات الصغيرة.
    3. عرّف متغيّرات الاضطراب (Perturbation Variables). دع $ \delta x = x - x^\star $، و $ \delta u = u - u^\star $، و $ \delta y = y - y^\star $. استبدل في توسّع تايلور (Taylor Expansion)، وأهمل الحدود الأعلى رتبة لتحصل على $$ \delta \dot{x} = A , \delta x + B , \delta u, \qquad \delta y = C , \delta x + D , \delta u. $$

    ضع الطريقة موضع التطبيق مع نظام الرفع المغناطيسي (Magnetic Levitation): $$ m \ddot{z} = mg - \frac{k i^2}{z^2}, \qquad \dot{i} = \frac{1}{L}(v - R i). $$ اختر توازنًا $ z^\star, i^\star $ يحقق $ mg = \frac{k (i^\star)^2}{(z^\star)^2} $. ثم:

    • اشتق الديناميكيات بالنسبة إلى $ z $ و $ i $ لحساب $ A $.
    • اشتقها بالنسبة إلى مدخلات التحكم $ v $ (والاضطرابات إن وُجدت) لحساب $ B $.
    • قرر ما ستقيسه (ربما $ z $ و $ i $) لتكوين $ C $ و $ D $.

    بعد اشتقاق $ A $ و $ B $، اسأل: هل يزعزع تغير صغير في جهد الملف الجسم المعلّق؟ افحص القيم الذاتية (Eigenvalues) للمصفوفة $ A $. إذا وجدتها في النصف الأيمن من المستوى المركّب، فأنت تعرف أن النظام غير الخطي يحتاج إلى تغذية راجعة فعّالة حتى للانحرافات الصغيرة.

    أخيرًا، تحقّق من مدى الصلاحية. حاكي النموذج غير الخطي وتقريبه الخطي لانحرافات $ \pm 5% $ في $ z $ و $ i $. أين تبدأ المسارات بالاختلاف بوضوح؟ ضع علامة على هذا النطاق كغلاف آمن لمتحكّمك الخطي، وأعد النظر في نقطة التشغيل إذا كان ضيقًا جدًا.