3.5 تحويل دالة الانتقال إلى فضاء الحالة 

أحيانًا يعطيك دليل المواصفات $ G(s) $ ولا شيء غيره. لتصمّم في نطاق الزمن، يجب أن تستعيد نموذج فضاء الحالة (State-Space Model). النموذج القياسي القابل للتحكم (Controllable Canonical Form) يوفّر طريقًا منهجيًا.

افترض أنك تعرف $$ G(s) = \frac{b_0 s^{n-m} + b_1 s^{n-m-1} + \cdots + b_{n-m}}{s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_n}. $$ اتبع هذه الخطوات (واكتبها فعليًا لمثال محدّد مثل $ G(s) = \frac{2}{s^2 + 3s + 2} $):

1. عرّف متجه الحالة كترتيب للمشتقّات الخاصة بالإشارة الداخلية $ z(t) $ التي ينتج تحويل لابلاس (Laplace Transform) المقام منها. في النموذج القياسي القابل للتحكم: $$ x(t) = \begin{bmatrix} z^{(n-1)}(t) & \cdots & \dot{z}(t) & z(t) \end{bmatrix}^{!\top}. $$ لماذا هذا الاختيار؟ لأن كل معادلة حالة تصبح إزاحة بسيطة، ما يجعل النظام قابلاً للتحكم من خلال المعادلة الأخيرة.
2. ابنِ $ A $ و $ B $: $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \ -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 0 \ \vdots \ 0 \ 1 \end{bmatrix}. $$
3. كوّن $ C $ و $ D $ بمحاذاة معاملات البسط مع ترتيب الحالات. أولًا، أعد كتابة البسط بحيث لا يتجاوز الدرجة $ n $ مع إضافة أصفار عند الحاجة: $$ G(s) = \frac{d s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_n}. $$ ثم ضع $$ C = \begin{bmatrix} b_{n-1} - a_1 d & b_{n-2} - a_2 d & \cdots & b_0 - a_n d \end{bmatrix}, \qquad D = d. $$ للأنظمة الصارمة الانخفاض (Strictly Proper Systems)—وهي معظم النباتات العملية—يكون $ d = 0 $، ومن ثم $ C = [b_{n-1}, \ldots, b_0] $ و $ D = 0 $.

اختبر نفسك الآن. بالنسبة إلى $ G(s) = \frac{2}{s^2 + 3s + 2} $:

• اكتب $ A, B, C, D $.
• حاكي استجابة الخطوة الواحدة (Unit-Step Response) ذهنيًا أو باستخدام البرمجيات وتحقّق أن المخرج يطابق دالة الانتقال الأصلية.

وأنت تتدرّب، لاحظ كيف تبرز الأشكال القياسية المختلفة (شكل قابل للرصد Observable Canonical Form، أو شكل جوردان Jordan، أو شكل قطري عندما يكون ذلك ممكنًا) أهداف تصميم متنوعة. اسأل: أي شكل يجعل تصميم المراقب أسهل لتطبيقي؟ ثم اختر بناءً على ذلك.