3.4 تطبيق تمثيل فضاء الحالة
لا تصبح النظرية نافعة إلا عندما تستطيع تحويل المكوّنات الفيزيائية إلى مصفوفات $ A, B, C, D $. سير العمل التالي يحوّل المخطط إلى مصفوفات. جرّبه على الورق وأنت تقرأ؛ الدماغ يحفظ الخطوات أفضل عندما تتحرّك يدك.
- اختر متغيّرات الحالة: اختر كميات تظهر مشتقّاتها في المعادلات التفاضلية. لماذا؟ لأن تكامل مشتقّاتها يعيد بناء السلوك الماضي. في محرك تيار مستمر، الخيارات الطبيعية هي تيار العضو الدوّار $ i_a $ وسرعة العمود $ \omega $.
- اكتب معادلات من الدرجة الأولى: عبّر عن كل مشتق باستخدام الفيزياء. مثال: $$ L \frac{di_a}{dt} = -R i_a - k_e \omega + v_a, \qquad J \frac{d\omega}{dt} = k_t i_a - b \omega - \tau_L. $$
- رتّب في صيغة مصفوفية: اجمع الحدود لتتناسب مع $ \dot{x} = A x + B u $.
$$
\dot{x} =
\begin{bmatrix}
-\frac{R}{L} & -\frac{k_e}{L} \
\frac{k_t}{J} & -\frac{b}{J}
\end{bmatrix} x
- عرّف المخرجات: اختر ما تقيسه. إذا كنت تقيس السرعة والتيار، فلدينا $$ y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} x. $$
لاحظ كيف تعكس كل خطوة سبب حاجتنا للنمذجة: التنبؤ بالسرعة لتصميم متحكّم، أو تقدير التيار للحماية الحرارية، أو رفض عزم الحمل (Load Torque) كاضطراب.
دورك الآن—تناول نظام كتلة-نابض-مخمّد (Mass-Spring-Damper):
$$ m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = f(t). $$
ضع $ x_1 = x $ و $ x_2 = \dot{x} $. اشتق $ A $ و $ B $ بنفسك، ثم افحص:
- هل تضع $ A $ أصفارًا على القطر ما عدا تأثير التخميد؟
- هل يُدخِل $ B $ القوة في معادلة السرعة؟
إذا تطابقت إجاباتك، فقد حوّلت الفيزياء إلى مصفوفات بنجاح. إن لم يحدث، ضع دائرة على الحد الذي ذهب إلى المعادلة الخطأ وأعد الاشتقاق—غالبًا ما يكشف ذلك إشارة مفقودة أو اضطرابًا أغفلته.