3.3 التمثيل العام لفضاء الحالة 

العمود الفقري لنمذجة الزمن هو زوج المعادلات:

$$ \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t), \qquad y(t) = C x(t) + D u(t), $$

حيث

• $ x(t) \in \mathbb{R}^n $ يمثّل متجه الحالة (State Vector) الذي يجمع المتغيّرات المخزّنة للطاقة،
• $ u(t) \in \mathbb{R}^m $ يجمع إشارات التحكم (Control Inputs)،
• $ y(t) \in \mathbb{R}^p $ يجمع المخرجات المقاسة (Measured Outputs).

لماذا نحتاج هذا القالب؟ لأنه عالمي للأنظمة الخطية ثابتة الزمن (Linear Time-Invariant Systems). بمجرد معرفة $ A, B, C, D $، يمكنك محاكاة المسارات، وفحص الاستقرارية، وتصميم المراقبات (Observers)، واستنتاج المتحكّمات بحل معادلات مصفوفية. لن تضطر للتعامل مباشرة مع معادلات تفاضلية عالية الرتبة.

تخيّل تدفّق المعلومات:

graph LR
    u(("u(t)")) -->|"B"| dx["dx/dt"]
    x(("x(t)")) -->|"A"| dx
    dx --> x
    x -->|"C"| y(("y(t)"))
    u -->|"D"| y

لتثبيت البنية في ذهنك، خُذ نظامًا بسيطًا مثل منصة موضعية بكتلة واحدة حيث تمثّل $ x_1 $ الموضع و $ x_2 $ السرعة. اكتب المصفوفات بصوت مسموع:

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = [0]. $$

والآن اسأل نفسك:

• إذا قُدت القوة $ u(t) $ بينما قست الموضع $ y(t) = x_1(t) $، هل تستطيع إعادة بناء السرعة دون مراقب (Observer)؟
• ماذا يحدث إذا أضفت حساس سرعة بحيث تصبح $ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $؟ كيف يتغيّر ذلك في البيانات التي تخزّنها أو تنقلها؟

الإجابة عن هذه الأسئلة تُرسّخ كيف تشكّل كل مصفوفة النموذج. عندما تنتقل إلى تصميم المتحكّم، ستكون قد عرفت بالفعل نقاط التأثير.